Mecânica – Equilíbrio Estático – PUC-RIO 2012 (Inverno)

Isabel Parreira, através do formulário de contato do professorbira.com, solicitou auxílio na resolução do seguinte problema do vestibular da PUC-RIO.

Um pêndulo é constituído de uma pequena esfera de massa m = 2,0kg suspensa por um fio ideal de comprimento L = 80cm. O pêndulo se encontra inicialmente em equilíbrio na posição mostrada na figura abaixo, onde F é uma força horizontal, e o fio faz um ângulo de 60º com a vertical.

São dados: g = 10,0m/s², raiz quadrada de 3 igual a 1,73 e raiz quadrada de 2 igual a 1,41.

(a) Represente o diagrama de forças que atuam na esfera na posição de equilíbrio mostrada na figura.

Note que, além da força F, somente duas outras forças agem sobre a esfera: o peso P e a força tensora no fio T. Ora, para que haja equilíbrio (F_R = 0), a componente vertical da força tensora, T_V, deve equilibrar o peso P, e a componente horizontal da força tensora, T_H, deve equilibrar a força F. Assim, teremos o seguinte diagrama de forças:

(b) Ache o módulo da força F (em N) na posição de equilíbrio mostrada na figura.

Note que, para haver equilíbrio na direção horizontal, a força resultante nessa direção deve ser nula. Então,

Por sua vez,

O equilíbrio deve também acontecer na vertical. Assim,

Aqui também podemos fazer

Sendo assim,

e, portanto,

(c) Considere agora que a força F cessa, soltando, portanto, o pêndulo a partir do repouso. Encontre o módulo da velocidade da esfera (em m/s) quando o pêndulo está em sua posição mais baixa (fio na vertical).

Consideremos o ponto mais baixo da trajetória como o nível de referência para o cálculo de energia potencial gravitacional.

Na posição de equilíbrio mostrada pelo esquema, a esfera está em repouso e, portanto, tem energia cinética zero. Porém, sua energia potencial gravitacional, E_P0, será dada por

Já no ponto mais baixo da trajetória, por estar no nível de referência, a esfera não tem energia potencial gravitacional; tem, porém, energia cinética E_C dada por

Ora, pelo princípio da conservação da energia mecânica, a energia mecânica final (E_C) deve ser igual à energia mecânica inicial (E_P0). Então,

(d) Calcule a força de tensão do fio sobre a esfera na condição do item (c).

Note que, para que a trajetória do movimento seja um arco de circunferência, é necessário que haja uma força resultante centrípeta (F_CP) agindo sobre a esfera. Assim,

Então, substituindo os valores,