Mecânica – Equilíbrio Estático – PUC-RIO 2012 (Inverno)

Isabel Parreira, através do formulário de contato do professorbira.com, solicitou auxílio na resolução do seguinte problema do vestibular da PUC-RIO.

Um pêndulo é constituído de uma pequena esfera de massa m = 2,0kg suspensa por um fio ideal de comprimento L = 80cm. O pêndulo se encontra inicialmente em equilíbrio na posição mostrada na figura abaixo, onde F é uma força horizontal, e o fio faz um ângulo de 60º com a vertical.

São dados: g = 10,0m/s², raiz quadrada de 3 igual a 1,73 e raiz quadrada de 2 igual a 1,41.

(a) Represente o diagrama de forças que atuam na esfera na posição de equilíbrio mostrada na figura.

Note que, além da força F, somente duas outras forças agem sobre a esfera: o peso P e a força tensora no fio T. Ora, para que haja equilíbrio (F_R = 0), a componente vertical da força tensora, T_V, deve equilibrar o peso P, e a componente horizontal da força tensora, T_H, deve equilibrar a força F. Assim, teremos o seguinte diagrama de forças:

(b) Ache o módulo da força F (em N) na posição de equilíbrio mostrada na figura.

Note que, para haver equilíbrio na direção horizontal, a força resultante nessa direção deve ser nula. Então,

Por sua vez,

O equilíbrio deve também acontecer na vertical. Assim,

Aqui também podemos fazer

Sendo assim,

e, portanto,

(c) Considere agora que a força F cessa, soltando, portanto, o pêndulo a partir do repouso. Encontre o módulo da velocidade da esfera (em m/s) quando o pêndulo está em sua posição mais baixa (fio na vertical).

Consideremos o ponto mais baixo da trajetória como o nível de referência para o cálculo de energia potencial gravitacional.

Na posição de equilíbrio mostrada pelo esquema, a esfera está em repouso e, portanto, tem energia cinética zero. Porém, sua energia potencial gravitacional, E_P0, será dada por

Já no ponto mais baixo da trajetória, por estar no nível de referência, a esfera não tem energia potencial gravitacional; tem, porém, energia cinética E_C dada por

Ora, pelo princípio da conservação da energia mecânica, a energia mecânica final (E_C) deve ser igual à energia mecânica inicial (E_P0). Então,

(d) Calcule a força de tensão do fio sobre a esfera na condição do item (c).

Note que, para que a trajetória do movimento seja um arco de circunferência, é necessário que haja uma força resultante centrípeta (F_CP) agindo sobre a esfera. Assim,

Então, substituindo os valores,

Movimentos – Propriedades Gráficas – Resolução Comentada – 5

Questão da apostila do terceirão – 3.º bimestre: frente 1 – mód. 2 – ex. 4.

I. Verdadeira. Notem que entre 6min e 8min o gráfico apresenta-se como uma linha reta inclinada. Por ser um gráfico de velocidade em função do tempo, isso indica que a função horária da velocidade é do 1.º grau, o que caracteriza um movimento uniformemente variado.

II. Falsa. Entre 1min e 5min há um total de 4min, ou seja, 240s. No gráfico v × t, o deslocamento corresponde, numericamente, à área da figura delimitada pela curva e o eixo das abscissas. Nesse caso, trata-se de um retângulo de base 4min (240s) e altura 24m/s. Assim, o deslocamento será base · altura = 240 · 24 = 5 760m.

III. Falsa. Velocidade escalar média é a razão entre a variação do espaço (deslocamento) e a variação do tempo. Como o deslocamento corresponde à área sob a curva, em hipótese alguma valerá zero entre 0 e 9min. Logo, a velocidade escalar média nesse intervalo será diferente de zero.

Assim, temos como resposta o item A.

Movimentos – Propriedades Gráficas – Resolução Comentada – 4

Questão da apostila do terceirão – 3.º bimestre: frente 1 – mód. 2 – ex. 2.

Se João Gabriel parte do repouso, sua velocidade inicial, no referencial adotado, deve ser igual a zero. Isso já descartaria o gráfico (a) como resposta. Da mesma forma, se ele estaciona em seu destino, a velocidade volta a ficar igual a zero. Descartamos, portanto, os gráficos (b), (c) e (d)!

Notem como o gráfico restante, (e), condiz com o comportamento esperado do veículo: parte do repouso, acelera até atingir uma "velocidade de cruzeiro", que mantém constante; ao aproximar-se de um semáforo freia, diminuindo sua velocidade e parando, ficando em repouso por um tempo etc.

Assim, a resposta é o item E.

Encontro – MU & MUV – Resolução Comentada – 3

Questão da apostila do terceirão – 3.º bimestre: frente 1 – mód. 1 – ex. 6.

Trata-se de um problema de encontro entre dois corpos. O objetivo é, na verdade, determinar em que instante dois corpos estarão na mesma posição (encontro é estar no mesmo lugar ao mesmo tempo). A leitura cuidadosa do enunciado permite-nos entender que somente os ciclistas brasileiro e inglês são relevantes para a resolução do problema.

Ao resolver um problema de encontro, sempre iniciamos estabelecendo a condição inicial e as funções horárias dos espaços dos corpos envolvidos.

Situação inicial do problema proposto.

Como o ciclista brasileiro está atrás do ciclista inglês, podemos colocá-lo na origem do referencial, deixando o inglês na posição 15m. Escrevamos as funções horárias dos espaços.

O brasileiro está na posição inicial 0, executando um MUV com velocidade inicial de módulo 24m/s e aceleração 0,4m/s². Assim,

Já o inglês está na posição inicial 15m, executando MU com velocidade de módulo 22m/s. Sua equação horária do espaço, então, será

Muito bem, para determinar o instante do encontro, basta igualar as posições de ambos os ciclistas:

Notem que obtivemos uma equação do 2.º grau. Dividindo ambos os membros por 0,2 e resolvendo:

Isso nos leva a t = –15s, que não nos convém, pois refere-se a algo que aconteceu antes da situação inicial ilustrada, e t = 5,0s, que é a resposta procurada – item E.

Movimento Uniforme – Resolução Comentada – 2

Questão da apostila do terceirão – 3.º bimestre: frente 1 – mód. 1 – ex. 4.

Toda vez que se fala em eco, devemos lembrar que se trata da percepção do som refletido por um obstáculo. Sendo assim, o som precisou se propagar da fonte até o obstáculo, percorrendo uma distância d, e retornar à fonte, percorrendo novamente a mesma distância d. Portanto, nesse fenômeno a onda sonora percorre um espaço 2d durante um intervalo de tempo T. Sendo a velocidade do som Vs constante, podemos fazer

O que nos dá como resposta o item D.

Movimento Uniformemente Variado - Resolução Comentada - 1

Questão da apostila do terceirão – 3.º bimestre: frente 1 – mód. 1 – ex. 2.

Analisemos esse gráfico com muita atenção: no eixo das ordenadas está o produto da velocidade pela aceleração. Aí está a chave para a resolução do problema!

No intervalo de tempo t < t₁, o produto va é negativo; em outras palavras, velocidade e aceleração têm sinais opostos que, em termos vetoriais, significa que essas grandezas apresentam sentidos opostos. Ora, essa é a característica de um movimento retardado.

Já quando t > t₁, o produto va é positivo, indicando velocidade e aceleração com sinais iguais, característica de um movimento acelerado.

Assim, a resposta à questão proposta é o item C.